Докажите, что в выпуклый центрально-симметричный многоугольник можно поместить ромб вдвое меньшей площади.

   Решение

Около окружности, радиус которой равен 4, описан прямоугольный треугольник, гипотенуза которого равна 26. Найдите периметр треугольника.

   Решение

Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причём CD = 8 и точка B лежит между точками C и D. Найдите площадь треугольника ACD.

   Решение

Внутри тетраэдра расположен треугольник, проекции которого на 4 грани тетраэдра имеют площади P₁, P₂, P₃, P₄. Докажите, что а) в правильном тетраэдре P₁ ≤ P₂ + P₃ + P₄; б) если S₁, S₂, S₃, S₄ — площади соответствующих граней тетраэдра, то P₁S₁ ≤ P₂S₂ + P₃S₃ + P₄S₄.

   Решение

Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Найдите диагонали четырёхугольника, образованного биссектрисами внутренних углов прямоугольника со сторонами 1 и 3.

Подсказка

Полученный четырёхугольник – квадрат.

Решение

  Пусть ABCD – данный прямоугольник,  AB = 1,  BC = 3.  Четырёхугольник MNKL, образованный пересечением биссектрис углов A и B, A и D, C и D, B и C, – квадрат.
  Пусть P – точка пересечения биссектрисы угла A со стороной BC, Q – основание перпендикуляра, опущенного из вершины C на прямую AP. Поскольку
BP = AB = 1,  PC = BC – BP = 2,  то из равенства треугольников PQC и MNK (по катету и острому углу) следует, что  MK = PC = 2.

Ответ

2.

Источники и прецеденты использования