Задача 53859

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Средняя линия треугольника ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

Через точку P, лежащую на медиане CC₁ треугольника ABC, проведены прямые AA₁ и BB₁ (точки A₁ и B₁ лежат на сторонах BC и CA соответственно).
Докажите, что  A₁B₁ || AB.

Решение

  Пусть $A_2$ – середина отрезка $A_1B$. Тогда $C_1A_2$ – средняя линия треугольника $ABA_1$, и, следовательно, $A_1P || C_1A_2$. Тогда из теоремы Фалеса $CA_1 : A_1A_2 = CP : PC_1$, и, поскольку $A_1B = 2A_1A_2$, справедливо $CA_1 : A_1B = CP : 2 PC_1$. Аналогично, $CB_1 : B_1A = CP : 2 PC_1.$ Поэтому $CB_1 : B_1A = CA_1 : A_1B$. Следовательно, $A_1B_1 || AB$.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	1
Название	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
Тема	Отрезки, заключенные между параллельными прямыми
задача
Номер	01.004
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1624