Задача 53868

Темы:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Связь величины угла с длиной дуги и хорды ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Условие

На стороне BC равностороннего треугольника ABC как на диаметре внешним образом построена полуокружность, на которой взяты точки K и L, делящие полуокружность на три равные дуги. Докажите, что прямые AK и AL делят отрезок BC на равные части.

Подсказка

Треугольники LQC и AQB подобны с коэффициентом ½.

Решение

  Пусть O – середина BC, P и Q – точки пересечения отрезков AK и AL со стороной BC.
  Поскольку  ∠LOC = 60°  и  OL = OC,  то треугольник LOC – равносторонний. Поэтому  LC = OC = ½ BC = ½ AB,  LC || AB.
  Из подобия треугольников LQC и AQB находим, что  CQ = ^LC/_AB·BQ = ½ BQ.
  Следовательно,  CQ = ¹/₃ BC.  Аналогично  BP = ¹/₃ BC.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	1
Название	Подобные треугольники
Тема	Подобные треугольники
параграф
Номер	2
Название	Отношение сторон подобных треугольников
Тема	Отношения линейных элементов подобных треугольников
задача
Номер	01.029
web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	1633