В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого угла CL. Из вершины A ( A > 45^o) на CL опущен перпендикуляр AD. Найдите площадь треугольника ABC, если AD = a, CL = b.

   Решение

A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:

S_A'B'C'D'E'S_ABCDE.

   Решение

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Конкуррентность высот. Углы между высотами. ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

Подсказка

Если  AH·A₁H = BH·B₁H,  то треугольники AH₁B и BHA₁ подобны, и наоборот.

Решение

  Если H – точка пересечения высот треугольника ABC, то треугольники AHB₁ и BHA₁ подобны. Следовательно,  AH : BH = B₁H : A₁H,  или  AH·A₁H = BH·B₁H.
  Аналогично  BH·B₁H = CH·C₁H.

  Пусть теперь  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H.
  Тогда треугольники AHB₁ и BHA₁ подобны. Обозначим  ∠AB₁H = ∠BA₁H = φ.  Тогда  ∠CA₁H = ∠CB₁H = 180° – φ.
  Аналогично  ∠BC₁H = ∠CB₁H = 180° – φ,  ∠AC₁H = ∠CA₁H = 180° – φ.   Следовательно,  ∠AC₁H = ∠BC₁H = 90°.

Источники и прецеденты использования