Дан треугольник ABC и прямая l, пересекающая прямые BC, AC, AB в точках L_a, L_b, L_c. Перпендикуляр, восставленный из точки L_a к BC, пересекает AB и AC в точках A_b и A_c соответственно. Точка O_a – центр описанной окружности треугольника AA_bA_c. Аналогично определим O_b и O_c. Докажите, что O_a, O_b и O_c лежат на одной прямой.

   Решение

Доказать, что  (2ⁿ – 1)ⁿ – 3  делится на  2ⁿ – 3  при любом n.

   Решение

Доказать, что при чётном n   20ⁿ + 16ⁿ – 3ⁿ – 1  делится на 323.

   Решение

Через произвольную точку P стороны AC треугольника ABC параллельно его медианам AK и CL проведены прямые, пересекающие стороны BC и AB в точках E и F соответственно. Докажите, что медианы AK и CL делят отрезок EF на три равные части.

   Решение

12 шахматистов сыграли турнир в один круг. Потом каждый из них написал 12 списков. В первом только он, в (k+1)-м – те, кто были в k-м и те, у кого они выиграли. Оказалось, что у каждого шахматиста 12-й список отличается от 11-го. Сколько было ничьих?

   Решение

По кругу расставлены 2005 натуральных чисел.
Доказать, что найдутся два соседних числа, после выкидывания которых оставшиеся числа нельзя разбить на две группы с равной суммой.

   Решение

Имеются две одинаковых шестеренки по 14 зубьев на общей оси. Их совместили и выбили четыре пары зубьев.
Доказать, что шестеренки можно повернуть так, что они образуют полноценную шестеренку (без дырок).

   Решение

На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём  AE : EB = 1 : 2,  а  CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?

   Решение

Темы:    [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ] [ Признаки подобия ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На стороне AB квадрата ABCD взята точка E, а на стороне CD – точка F, причём  AE : EB = 1 : 2,  а  CF = FD.
Будут ли голубой и зелёный треугольники (см. рис.) подобны?

Подсказка

В каждом из указанных треугольников найдите отношение сторон, заключающих угол в 45°.

Решение

  Заметим, что  ∠NCF = ∠EAM = 45°.

  Первый способ. Из подобия треугольников CNF и ANB следует, что  CN = ¹/₃ AC,  а из подобия треугольников CMD и AME –  AM = ¼ AC.
  Если сторона квадрата ABCD равна 6, то CF = 3,  AE = 2,  AC = 6,  CN = 2,  AM = ³/₂.  Поэтому  AM : AE = CF : CN,  и треугольники CNF и AEM подобны.

  Второй способ.  tg∠NFC = tg∠BFC = 2,  tg∠AEM = tg∠AED = 3,  tg∠NCF = tg 45° = 1.  Поэтому  tg∠CNF = – tg(∠NCF + ∠NFC) = – = 3.
  Следовательно,  ∠CNF = ∠AEM,  и треугольники CNF и AEM подобны по двум углам.

Ответ

Будут.

Источники и прецеденты использования