Дана окружность с центром O. На продолжении хорды AB за точку B отложен отрезок BC, равный радиусу. Через точки C и O проведена секущая CD (D – точка пересечения с окружностью, лежащая вне отрезка CO). Докажите, что  ∠AOD = 3∠ACD.

   Решение

Объём пирамиды ABCD равен 5. Через середины рёбер AD и BC проведена плоскость, пересекающая ребро CD в точке M . При этом DM:MC = 2:3. Найдите площадь сечения пирамиды указанной плоскостью, если расстояние от неё до вершины A равно 1.

   Решение

Правильный восьмиугольник со стороной 1 разрезан на параллелограммы. Докажите, что среди них есть по крайней мере два прямоугольника, причем сумма площадей всех прямоугольников равна 2.

   Решение

На сторонах BC, CA и AB треугольника взяты точки A₁, B₁, C₁ соответственно, причём радиусы окружностей, вписанных в треугольники A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C, равны между собой и равны r. Радиус окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C₁, равен r₁. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

   Решение

Дана бесконечная последовательность чисел a₁, ..., a_n, ... Она периодична с периодом 100, то есть  a₁ = a₁₀₁,  a₂ = a₁₀₂,  ... Известно, что  a₁ ≥ 0,  a₁ + a₂ ≤ 0,  a₁ + a₂ + a₃ ≥ 0  и вообще, сумма  a₁ + a₂ + ... + a_n  неотрицательна при нечётном n и неположительна при чётном n. Доказать, что  |a₉₉| ≥ |a₁₀₀|.

   Решение

На шахматной доске выбрана клетка. Сумма квадратов расстояний от её центра до центров всех чёрных клеток обозначена через a, а до центров всех белых клеток – через b. Докажите, что  a = b.

   Решение

В трапеции ABCD основание  AD = 2,  основание  BC = 1.  Боковые стороны  AB = CD = 1.  Найдите диагонали трапеции.

   Решение

Темы:    [ Перенос стороны, диагонали и т.п. ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В трапеции ABCD основание  AD = 2,  основание  BC = 1.  Боковые стороны  AB = CD = 1.  Найдите диагонали трапеции.

Подсказка

Через вершину C проведите прямую, параллельную AB.

Решение

Через вершину C проведём прямую, параллельную AB, до пересечения с основанием AD в точке M. Заметим, что медиана AM треугольника ACD равна половине стороны AD. Поэтому  ∠ACD = 90°.  В том же треугольнике катет CD равен половине гипотенузы. Значит,  AC = CD.

Ответ

.

Источники и прецеденты использования