Версия для печати
Убрать все задачи

---

Натуральные числа m₁, ..., m_n попарно взаимно просты. Докажите, что число  x = (m₂...m_n)^φ(m₁)  является решением системы
    x ≡ 1 (mod m₁),
    x ≡ 0 (mod m₂),
        ...
    x ≡ 0 (mod m_n).

   Решение

---

Площадь основания пирамиды равна s . Через середину высоты пирамиды проведена плоскость, параллельная плоскости основания. Найдите площадь полученного сечения.

   Решение

---

Докажите, что выпуклый 13-угольник нельзя разрезать на параллелограммы.

   Решение

---

Имеется замкнутая самопересекающаяся ломаная. Известно, что она пересекает каждое свое звено ровно один раз. Докажите, что число звеньев чётно.

   Решение

---

В ряд записаны 20 различных натуральных чисел. Произведение каждых двух из них, стоящих подряд, является квадратом натурального числа. Первое число равно 42. Докажите, что хотя бы одно из чисел больше чем 16000.

   Решение

---

В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cosBAM = .

   Решение

Темы:    [ Площадь параллелограмма ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

В параллелограмме ABCD большая сторона AD равна 5. Биссектрисы углов A и B пересекаются в точке M. Найдите площадь параллелограмма, если BM = 2, а cosBAM = .

Подсказка

Докажите, что треугольник AMB — прямоугольный.

Решение

Поскольку BAD + ABC = 180^o, то треугольник AMB — прямоугольный. Поэтому

По формуле sin 2 = 2 sincos находим, что

Следовательно,

Ответ

16.

Источники и прецеденты использования