В трапеции ABCD известно, что BAD = 45^o, ADC = 90^o. Окружность, центр которой лежит на отрезке AD, касается прямых AB, BC и CD. Найдите площадь трапеции, если радиус окружности равен R.

   Решение

Докажите, что если  a, b, c, d, x, y, u, v  – вещественные числа и  abcd > 0,  то

   Решение

На окружности фиксированы точки A и B, а точка C перемещается по этой окружности. Найдите множество точек пересечения: а) высот; б) биссектрис треугольников ABC.

   Решение

В параллелограмме ABCD сторона AB равна 6, а высота, проведённая к основанию AD, равна 3. Биссектриса угла BAD пересекает сторону BC в точке M, причём  MC = 4.  N – точка пересечения биссектрисы AM и диагонали BD. Найдите площадь треугольника BNM.

   Решение

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.

   Решение

Темы:    [ Метод ГМТ ] [ Признаки и свойства касательной ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте точку, из которой две данные окружности были бы видны под данными углами.

Подсказка

Геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.

Решение

Докажем сначала, что геометрическое место точек, из которых данная окружность видна под данным углом, есть окружность, концентрическая данной.

Действительно, пусть данный угол равен , O — центр данной окружности, r — её радиус. Если из точки M данная окружность видна под углом , то OM — гипотенуза прямоугольного треугольника, один катет которого — радиус, проведённый в точку касания с касательной, проходящей через точку M, а противолежащий острый угол равен . Следовательно, точка M лежит на окружности с центром в точке O радиусом . Легко доказать, что из любой точки этой окружности данная окружность видна под углом . Поэтому задача сводится к построению двух прямоугольных треугольников по катету и острому углу.

Источники и прецеденты использования