Версия для печати
Убрать все задачи

---

Фишка стоит на одном из полей бесконечной в обе стороны клетчатой полоски бумаги. Она может сдвигаться на m полей вправо или на n полей влево.
При каких m и n она сможет переместиться в соседнюю справа клетку?

   Решение

---

Пусть  x₁, x₂,..., x_n  – корни уравнения  a_nxⁿ + ... + a₁x + a₀ = 0.  Какие корни будут у уравнений
  а)  a₀xⁿ + ... + a_n–1x + a_n = 0;
  б)  a_nx²ⁿ + ... + a₁x² + a₀ = 0?

   Решение

---

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

   Решение

Темы:    [ ГМТ - прямая или отрезок ] [ Общая касательная к двум окружностям ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Гомотетия помогает решить задачу ] [ Трапеции (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Два колеса радиусов r и R катаются по прямой m. Найдите геометрическое место точек пересечения M их общих внутренних касательных.

Подсказка

Вычислите расстояние от прямой M до прямой m.

Решение

  Пусть O₁ и O₂ – центры окружностей радиусов r и R, A и B – точки касания этих окружностей с прямой m.
  Окружности гомотетичны относительно точки M с коэффициентом ^r/_R. Значит,  O₁M : O₂M = r : R.
  В таком же отношении делит боковые стороны трапеции AO₁O₂B прямая, параллельная основаниям и проходящая через точку пересечения её диагоналей (см. рис.).

  Пусть N – проекция точки M на прямую m. Согласно решению задачи 115592  MN = ^2rR/_R+r.  Следовательно, точка M удалена от прямой m на фиксированное растояние, то есть принадлежит прямой, параллельной прямой m.
  С другой стороны, для любой точки этой прямой можно указать две окружности радиусов r и R, для которых она является точкой пересечения общих внутренних касательных.

Ответ

Прямая, параллельная прямой m.

Источники и прецеденты использования