Версия для печати
Убрать все задачи

---

В последовательности цифр 1234096... каждая цифра, начиная с пятой, равна последней цифре суммы предыдущих четырёх цифр.
Встретятся ли в этой последовательности подряд четыре цифры 8123?

   Решение

---

Данная таблица аналогична треугольнику Паскаля и состоит из фибоначчиевых коэффициентов     определяемых равенством

  а) Докажите, что фибоначчиевы коэффициенты обладают свойством симметрии  

  б) Найдите формулу, которая выражает коэффициент     через     и     (аналогичную равенству б) из задачи 60413).

  в) Объясните, почему все фибоначчиевы коэффициенты являются целыми числами.

   Решение

---

На медиане BM и на биссектрисе BK треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки D и E так, что DK || AB и EM || BC. Докажите, что EDBK.

   Решение

---

Точки M и N расположены на стороне BC треугольника ABC, а точка K — на стороне AC, причём BM : MN : NC = 1 : 1 : 2 и CK : AK = 1 : 4. Известно, что площадь треугольника ABC равна 1. Найдите площадь четырёхугольника AMNK.

   Решение

---

Полуокружность с диаметром AD касается катета BC прямоугольного треугольника ABC в точке М (см. рисунок).
Докажите, что AM – биссектриса угла BAC.

   Решение

---

В трапеции ABCD основание AB в три раза больше основания CD. На основании CD взята точка M, причём  MC = 2MD.  N – точка пересечения прямых BM и AC. Найдите отношение площади треугольника MNC к площади всей трапеции.

   Решение

---

На основании равнобедренного треугольника, равном 8, как на хорде построена окружность, касающаяся боковых сторон треугольника.
Найдите радиус окружности, если высота, опущенная на основание треугольника, равна 3.

   Решение

---

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным элементам ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник по стороне, притиволежащему углу и медиане, проведённой из вершины одного из прилежащих углов.

Подсказка

Примените метод геометрических мест.

Решение

Предположим, что нужный треугольник ABC построен. Пусть его сторона BC равна данному отрезку a, угол A равен данному углу , медиана CC₁ равна данному отрезку m_c.

Если A₁ — середина стороны BC, то A₁C₁B = A. Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим сначала отрезок BC, равный a, и его середину A₁. Точка C₁ является точкой пересечения окружности радиуса, равного данной медиане m_c (с центром в точке C), и дуг окружностей, из каждой точки которых отрезок A₁B виден под углом, равным . Далее ясно.

Число решений определяется числом точек пересечения окружностей.

Источники и прецеденты использования