В прямоугольном треугольнике ABC проведена биссектриса прямого угла CL. Из вершины A ( A > 45^o) на CL опущен перпендикуляр AD. Найдите площадь треугольника ABC, если AD = a, CL = b.

   Решение

A', B', C', D', E' — середины сторон выпуклого пятиугольника ABCDE. Доказать, что площади пятиугольников ABCDE и A'B'C'D'E' связаны соотношением:

S_A'B'C'D'E'S_ABCDE.

   Решение

На сторонах остроугольного треугольника ABC взяты точки A₁, B₁, C₁ так, что отрезки AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в точке H.
Докажите, что  AH·A₁H = BH·B₁H = CH·C₁H  тогда и только тогда, когда H – точка пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Пусть O — центр правильного треугольника ABC, сторона которого равна 10. Точка K делит медиану BM треугольника BOC в отношении 3:1, считая от точки B. Что больше: BO или BK?

   Решение

В стране Мара расположено несколько замков. Из каждого замка ведут три дороги. Из какого-то замка выехал рыцарь. Странствуя по дорогам, он из каждого замка, стоящего на его пути, поворачивает либо направо, либо налево по отношению к дороге, по которой приехал. Рыцарь никогда не сворачивает в ту сторону, в которую он свернул перед этим. Доказать, что когда-нибудь он вернётся в исходный замок.

   Решение

С помощью одной линейки опустите перпендикуляр из данной точки на прямую, содержащую данный диаметр данной окружности, если точка не лежит ни на окружности, ни на данной прямой.

   Решение

Постройте треугольник ABC, зная положение центров A₁, B₁ и C₁ его вневписанных окружностей.

   Решение

Темы:    [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Вневписанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте треугольник ABC, зная положение центров A₁, B₁ и C₁ его вневписанных окружностей.

Подсказка

Докажите, что A₁A, B₁B и C₁C – высоты треугольника A₁B₁C₁.

Решение

  Предположим, что треугольник ABC построен. Поскольку биссектрисы внешних углов при вершинах, например, B и C треугольника ABC пересекаются под углом  90° – ½ ∠A < 90°,  то треугольник A₁B₁C₁ остроугольный. Лучи AB₁ и AA₁ – биссектрисы смежных углов. Поэтому  ∠A₁AB₁ = 90°.  Следовательно, AA₁, BB₁ и CC₁ – высоты треугольника A₁B₁C₁.
  Отсюда вытекает следующий способ построения. Проведём высоты треугольника A₁B₁C₁. Точки их пересечения со сторонами треугольника A₁B₁C₁ – вершины искомого треугольника ABC.

Источники и прецеденты использования