Ищутся такие оканчивающиеся на 5 натуральные числа, что их цифры монотонно не убывают (то есть каждая цифра, начиная со второй, не меньше предыдущей цифры), и в десятичной записи их квадрата цифры тоже монотонно не убывают. Докажите, что таких чисел бесконечно много.

   Решение

Темы:    [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Угол (экстремальные свойства) ] [ Построения (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На одной из сторон угла взяты две точки A и B. Найдите на другой стороне угла точку C такую, чтобы угол ACB был наибольшим. Постройте точку C с помощью циркуля и линейки.

Подсказка

Задача сводится к построению окружности, проходящей через две данные точки и касающейся данной прямой.

Решение

Пусть O — вершина угла. Через точки A и B проведём окружность, касающуюся второй стороны угла. Если C — точка касания, то по теореме о касательной и секущей OC² = OB ^. OA. Отрезок OC — среднее геометрическое отрезков OB и OA.

Докажем теперь, что угол ACB наибольший из всех углов с вершиной на второй стороне данного угла. Пусть M — точка на этой стороне угла, отличная от C. Если P и Q — точки пересечения с окружностью отрезков AM и BM, то угол AMB измеряется полуразностью дуг AB и PQ, а угол ACB — половиной дуги AB. Следовательно, он больше.

Источники и прецеденты использования