На боковых сторонах AD и BC трапеции ABCD взяты точки P и Q соответственно, причём AP:PD = 3:2 . Отрезок PQ разбивает трапецию на части, одна из которых по площади вдвое больше другой. Найдите отношение CQ:QB , если AB:CD = 3:2 .

   Решение

Касательная и секущая, проведённые из одной точки к окружности, взаимно перпендикулярны. Касательная равна 12, а внутренняя часть секущей равна 10. Найдите радиус окружности.

   Решение

Докажите, что если  a + b + c = 0,  то   2(a⁵ + b⁵ + c⁵) = 5abc(a² + b² + c²).

   Решение

Точка D лежит на стороне AB треугольника ABC, точки E и F — на стороне BC этого треугольника, а точка P — на стороне AC. Отрезок AD составляет две трети стороны AB, отрезок BF составляет три пятых стороны BC, отрезок BE составляет одну пятую стороны BC, а точка P делит сторону AC пополам. Найдите отношение площади четырёхугольника DEFP к площади треугольника ABC.

   Решение

С помощью циркуля и линейки восстановите выпуклый четырёхугольник по четырём точкам – проекциям точки пересечения его диагоналей на стороны.

   Решение

Темы:    [ Четырехугольники (построения) ] [ Метод ГМТ ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

С помощью циркуля и линейки восстановите выпуклый четырёхугольник по четырём точкам – проекциям точки пересечения его диагоналей на стороны.

Подсказка

Пусть M, N, K и L – данные точки, Q – точка пересечения диагоналей искомого четырёхугольника. Выразите углы LQN и MQK через углы четырёхугольника MNKL.

Решение

  Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть M, N, K, L – проекции точки Q пересечения диагоналей AC и BD на стороны AB, BC, CD, AD соответственно. Будем считать для определённости, что луч AB пересекается с лучом DC, а луч DA – с лучом CB. Обозначим углы при вершинах четырёхугольника MNKL через φ₁, φ₂, φ₃, φ₄ соответственно,  ∠BQN = α₁,  ∠AQL = α₂,  ∠BQM = α₃,  ∠CQK = α₅,  ∠DQK = α₆.
  Пользуясь тем, что четырёхугольники QMAL, QNBM, QKCN и QLDK вписанные, получим:
α₁ + α₂ = 180° – φ₁,  α₃ + α₄ = α₅ + α₆,  α₃ + α₅ = 180° – φ₂,  α₄ + α₆ = 180° – φ₄,  α₃ + α₄ + α₅ + α₆ = 360° – φ₂ – φ₄,  α₃ + α₄ = 180° – ½ (φ₂ + φ₄).
  Поэтому  ∠NQL = α₁ + α₂ + α₃ + α₄ = 180° – φ₁ + 180° – ½ (φ₂ + φ₄) = 360° – φ₁ – ½ (φ₂ + φ₄).
  Аналогично  ∠MQK = 360° – φ₂ – ½ (φ₁ + φ₃).
  Поэтому данные отрезки LN и MK видны из точки Q под известными углами. Следовательно, точка Q может быть найдена, как точка пересечения двух соответствующих геометрических мест точек (дуг окружностей, построенных на отрезках LN и MK как на хордах, и вмещающих найденные углы). Остается провести через данные точки M, N, K и L перпендикуляры к отрезкам QM, QN, QK и QL соответственно.

Источники и прецеденты использования