Информация о задаче

Задача 54786

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах BC, CA и AB треугольника взяты точки A₁, B₁, C₁ соответственно, причём радиусы окружностей, вписанных в треугольники A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C, равны между собой и равны r. Радиус окружности, вписанной в треугольник A₁B₁C₁, равен r₁. Найдите радиус окружности, вписанной в треугольник ABC.

Подсказка

Используя равенство отрезков касательнных, проведённых к окружности из одной точки, докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ равен периметру треугольника с вершинами в центрах вписанных окружностей треугольников A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C.

Решение

Пусть O₁, O₂, O₃ — центры окружностей, вписанных в треугольники A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C соответственно, окружность с центром O₁ касается отрезков AB и C₁B₁ соответственно в точках L и N, окружность с центром O₂ касается отрезков AB и A₁C₁ соответственно в точках K и M, а окружность с центром O₃ касается A₁B₁ в точке P. Тогда

O₁O₂ = LK = LC₁ + KC₁ = C₁N + C₁M.

Аналогично докажем, что

O₁O₃ = B₁N + B₁P, O₂O₃ = A₁M + A₁P,

Значит, периметр треугольника O₁O₂O₃ равен периметру треугольника A₁B₁C₁.

Заметим, что радиус окружности, вписанной в треугольник ABC, равен сумме радиуса вписанной окружности треугольника O₁O₂O₃ и r. Докажем, что радиус вписанной окружности треугольника O₁O₂O₃ равен r₁.

Поскольку периметры треугольников O₁O₂O₃ и A₁B₁C₁ равны, а площадь треугольника равна произведению его полупериметра на радиус вписанной окружности, достаточно доказать равенство площадей этих треугольников.

Рассмотрим сумму площадей треугольников A₁BC₁, AB₁C₁ и A₁B₁C:

S_A₁BC₁ + S_AB₁C₁ + S_A₁B₁C =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC₁ + A₁C₁ + BA₁)r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB₁ + B₁C₁ + AC₁)r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (CA₁ + A₁B₁ + CB₁)r =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC₁ + A₁C₁ + BA₁ + AB₁ + B₁C₁ + AC₁ + CA₁ + A₁B₁ + CB₁)r =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ ((BC₁ + AC₁) + (BA₁ + CA₁) + (AB₁ + CB₁) + (A₁C₁ + B₁C₁ + A₁B₁))r =

= $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB + BC + AC) + (A₁C₁ + B₁C₁ + A₁B₁))r = (p + p₁)r,

где p и p₁ — полупериметры треугольников ABC и A₁B₁C₁. Таким образом,

S_ABC = S_A₁B₁C₁ + (p + p₁)r.

С другой стороны, площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольника O₁O₂O₂ и трёх трапеций: AO₁O₂B, AO₁O₃C и BO₂O₃C, т.е.

S_ABC = S_O₁O₂O₂ + S_AO₁O₂B + S_AO₁O₃C + S_BO₂O₃C =

= S_O₁O₂O₂ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB + O₁O₂)r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AC + O₁O₃)r + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (BC + O₂O₃)r =

= S_O₁O₂O₂ + $\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ (AB + O₁O₂ + AC + O₁O₃ + BC + O₂O₃)r =

= p₁r₂ + pr + p₁r = p₁r₂ + (p + p₁)r,

где r₂ — радиус вписанной окружности треугольника O₁O₂O₂. Значит,

p₁r₁ + (p + p₁)r = p₁r₂ + (p + p₁)r.

Поэтому r₂ = r₁, т.е. радиусы окружностей, вписанных в треугольники O₁O₂O₂ и A₁B₁C₁, равны. Следовательно, радиус окружности, вписанной в треугольник ABC равен r₁ + r.

Ответ

r + r₁.

Источники и прецеденты использования


web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	2732