Разложите функции     и     (n ≥ 1)  в цепные дроби.
Определения многочленов Фибоначчи F_n(x) и Люка L_n(x) смотри, например, здесь.

   Решение

Сколько целых чисел от 1 до 1997 имеют сумму цифр, делящуюся на 5?

   Решение

Проверьте, что многочлены Чебышёва T_n(x) и U_n(x) (см. задачу 61099) удовлетворяют начальным условиям
T₀(x) = 1,   T₁(x) = x;   U₀(x) = 1,   U₁(x) = 2x,   и рекуррентным формулам   T_n+1(x) = 2xT_n(x) – T_n–1(x),   U_n+1(x) = 2xU_n(x) – U_n–1(x).

   Решение

Можно ли найти десять таких последовательных натуральных чисел, что сумма их квадратов равна сумме квадратов следующих за ними девяти последовательных натуральных чисел?

   Решение

Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Площадь треугольника ABC равна S. Найдите площадь треугольника, стороны которого равны медианам треугольника ABC.

Решение

Пусть M – точка пересечения медиан треугольника ABC, B₁ – середина стороны AC. Отложим на продолжении медианы BB₁ за точку B₁ отрезок  B₁K = B₁M .  Поскольку AMCK – параллелограмм,  KC = AM.  Поэтому стороны треугольника MCK равны ⅔ сторон треугольника, составленного из медиан треугольника ABC. Следовательно, искомый треугольник подобен треугольнику MCK с коэффициентом 1,5, а его площадь равна  2,25S_MCK = 2,25·2·^S/₆ = ^3S/₄.

Ответ

^3S/₄.

Источники и прецеденты использования