Доказать, что существует бесконечно много натуральных чисел, не представимых в виде  p + n^2k  ни при каких простых p и целых n и k.

   Решение

Вычислите
  а)  cos ^π/₉ cos ^4π/₉ cos ^7π/₉;
  б)  cos ^π/₇ + cos ^3π/₇ + cos ^5π/₇.

   Решение

Число рёбер многогранника равно 100.
  а) Какое наибольшее число рёбер может пересечь плоскость, не проходящая через его вершины, если многогранник выпуклый?
  б) Докажите, что для невыпуклого многогранника это число может равняться 96,
  в) но не может равняться 100.

   Решение

Темы:    [ Угол между касательной и хордой ] [ Отношение площадей подобных треугольников ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Из внешней точки A проведены к кругу касательная AB и секущая ACD. Найдите площадь треугольника CBD, если AC : AB = 2 : 3 и площадь треугольника ABC равна 20.

Подсказка

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия.

Решение

По теореме об угле между касательной и хордой ABC = ADB. Поэтому треугольник ADB подобен треугольнику ABC (по двум углам). Коэффициент подобия равен отношению соответствующих сторон, т.е. = . Следовательно,

S_ADB = S_ABC = ^. 20 = 45,

S_CBD = S_ADB - S_ABC = 45 - 20 = 25.

Ответ

25.

Источники и прецеденты использования