Задача 55121

Темы:    [ Две пары подобных треугольников ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Условие

Пусть C₁, A₁, B₁ – такие точки на сторонах соответственно AB, BC, CA треугольника ABC, для которых  BA₁ :  A₁C = p : 1,  CB₁ :  B₁A = q : 1,
AC₁ :  C₁B = r : 1.  Найдите отношение площади треугольника, образованного прямыми AA₁, BB₁ и CC₁, к площади треугольника ABC.

Подсказка

См. задачу 54974.

Ответ

.

Замечания

Заметим, что полученное отношение равно  0  ⇔  pqr = 1.  Отсюда следует теорема Чевы.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3196