Задача 55136

Темы:    [ Правильные многоугольники ] [ Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Условие

Автор: Прасолов В.В.

Точка внутри правильного 2n-угольника соединена с вершинами. Возникшие 2n треугольников раскрашены попеременно в голубой и красный цвет. Докажите, что сумма площадей голубых треугольников равна сумме площадей красных
    а) для  n = 4,   б) для  n = 3,   в) для произвольного n.

Подсказка

Разберите отдельно случаи чётного и нечётного n.

Решение

   Поскольку в правильном многоугольнике все стороны равны, достаточно доказать, что сумма высот красных треугольников равна сумме высот голубых.
   Если n чётно, то к противоположным сторонам 2n-угольника примыкают треугольники одного цвета, а сумма высот таких треугольников равна расстоянию между этими сторонами (рис. 1). Разбивая треугольники на пары, прилегающие к противоположным сторонам, получим утверждение задачи.
   При нечётном n, продолжив "красные" стороны 2n-угольника, получим правильный n-угольник (рис. 2). Построенный таким же образом голубой n-угольник равен красному. Площадь голубого n-угольника равна сумме высот голубых треугольников, умноженной на половину его стороны. То же верно и для красного n-угольника. Отсюда следует равенство сумм высот голубых и красных треугольников.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3211