Задача 55195

Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ] [ Выпуклые многоугольники ]

Сложность: 4 Классы: 7,8,9

Условие

Автор: Гальперин Г.А.

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?

Подсказка

Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его противоположных сторон.

Решение

У квадрата и правильного пятиугольника все диагонали равны. Докажем, что других выпуклых многоугольников со всеми равными диагоналями не существует.

Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника A₁A₂...A_n равны, и n 6. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник A₁A₂A₄A₅. Сумма его диагоналей A₁A₄ и A₂A₅ больше суммы противоположных сторон A₂A₄ и A₁A₅, что невозможно, т.к. по предположению эти суммы равны.

Ответ

4 или 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	3549
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	1
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	37
Год	1974
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	3
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1974
выпуск
Номер	9
Задача
Номер	М281