ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Задача 55195
Темы:    [ Сумма длин диагоналей четырехугольника ]
[ Выпуклые многоугольники ]
Сложность: 4
Классы: 7,8,9
В корзину
Прислать комментарий

Условие

Сколько сторон может иметь выпуклый многоугольник, все диагонали которого равны?


Подсказка

Сумма диагоналей выпуклого четырёхугольника больше суммы его противоположных сторон.

Решение

У квадрата и правильного пятиугольника все диагонали равны. Докажем, что других выпуклых многоугольников со всеми равными диагоналями не существует.

Предположим, что все диагонали выпуклого многоугольника A1A2...An равны, и n $ \geqslant$ 6. Рассмотрим выпуклый четырёхугольник A1A2A4A5. Сумма его диагоналей A1A4 и A2A5 больше суммы противоположных сторон A2A4 и A1A5, что невозможно, т.к. по предположению эти суммы равны.


Ответ

4 или 5.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер 3549
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 8
Тур 2
задача
Номер 1
олимпиада
Название Московская математическая олимпиада
год
Номер 37
Год 1974
вариант
Класс 7
Тур 2
задача
Номер 3
журнал
Название "Квант"
год
Год 1974
выпуск
Номер 9
Задача
Номер М281

© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
     
Пишите нам
Rambler's Top100

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .