Версия для печати
Убрать все задачи

---

а) Пусть P — точка Брокара треугольника ABC. Угол  = ABP = BCP = CAP называется углом Брокара этого треугольника. Докажите, что  ctg = ctg + ctg + ctg.
б) Докажите, что точки Брокара треугольника ABC изогонально сопряжены.
в) Касательная к описанной окружности треугольника ABC в точке C и прямая, проходящая через точку B параллельно AC, пересекаются в точке A₁. Докажите, что угол Брокара треугольника ABC равен углу A₁AC.

   Решение

---

Докажите, что основания перпендикуляров, опущенных из произвольной точки описанной окружности на стороны треугольника (или их продолжения), лежат на одной прямой (прямая Симсона.)

   Решение

---

Докажите, что вписанный угол равен половине соответствующего центрального угла (или дуги) окружности.

   Решение

---

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

   Решение

Темы:    [ Теорема о сумме квадратов диагоналей ] [ Теорема косинусов ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что сумма квадратов диагоналей параллелограмма равна сумме квадратов всех его сторон.

Подсказка

Выразите по теореме косинусов квадраты диагоналей из соответствующих треугольников и сложите почленно полученные равенства.

Решение

Пусть AC и BD — диагонали параллелограмма ABCD. По теореме косинусов из треугольников ABD и ACD находим, что

Следовательно,

Источники и прецеденты использования