Задача 55391

Темы:    [ Четыре точки, лежащие на одной окружности ] [ Вспомогательная окружность ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Условие

В треугольнике ABC углы при вершинах B и C равны 40°, BD – биссектриса угла B. Докажите, что  BD + DA = BC.

Решение

Отложим на стороне BС отрезок  BE = BD.  Треугольник DBE равнобедренный, значит,  ∠BED = 80°,  ∠DEC = 100°.  Следовательно, треугольник CED также равнобедренный. Сумма углов BAD и BED равна 180°, поэтому точки A, B, D и E лежат на одной окружности. Хорды AD и DE равны (на них опираются равные углы). Отсюда  BD + DA = BE + EC = BC.

Замечания

5 баллов

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4710
олимпиада
Название	Турнир городов
Турнир
Дата	1984/1985
Номер	6
вариант
Вариант	осенний тур, подготовительный вариант, 9-10 класс
Задача
Номер	3
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	2
Название	Вписанный угол
Тема	Вписанный угол
параграф
Номер	4
Название	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
Тема	Связь величины угла с длиной дуги и хорды
задача
Номер	02.034