Условие
Даны две точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и
линейки постройте окружность, проходящую через точки A и B и
касающуюся окружности S .
Решение
Предположим, что искомая окружность S1 построена. Пусть P —
точка касания двух окружностей, а M — точка пересечения общей
касательной к этим окружностям, проходящей через точку P , с
прямой AB .
Проведём через точку M прямую, пересекающую окружность S в
двух точках C и D . Тогда MD· MC = MP2 = MA· MB .
Следовательно, точки A , B , C и D лежат на одной окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть центр
данной окружности S не лежит на серединном перпендикуляре к
отрезку AB (иначе построение упрощается). Возьмём на окружности S
произвольную точку C и опишем окружность около треугольника ABC .
Пусть D — вторая точка пересечения построенной окружности с
окружностью S , M — точка пересечения прямых CD и AB . Проведём
из точки M касательные MP и MQ к окружности S ( P и Q — точки
касания). Тогда описанные окружности треугольников ABP и ABQ —
искомые, поскольку MP2 = MQ2 = MA· MB .
Пусть точки A и B расположены вне окружности S . Предположим,
задача решена: построена окружность l , проходящая через данные
точки A и B и касающаяся данной окружности S в некоторой
точке M (рис.2).
Рассмотрим инверсию с центром в точке A . Прямая AB , проходящая
через центр инверсии, перейдёт в себя, точка B — в точку B'
этой прямой, окружность S , не проходящая через центр инверсии, —
в некоторую окружность S' , точка M — в некоторую точку M' , а
окружность l , проходящая через центр инверсии, — в прямую B'M' ,
касающуюся окружности S' в точке M' (рис.3).
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образ B' точки B
при инверсии относительно произвольной окружности с центром A ,
затем — образ S' данной окружности S . Из точки B' проводим
касательные к окружности S' . Еще раз применяем ту же инверсию.
Тогда построенные касательные переходят в искомые окружности.
Аналогично для случая, когда точки A и B расположены внутри
окружности S .
Источники и прецеденты использования
|
|
|
web-сайт |
|
Название |
Система задач по геометрии Р.К.Гордина |
|
URL |
http://zadachi.mccme.ru |
|
задача |
|
Номер |
4777 |
