Задача 55455

Темы:    [ Окружности (построения) ] [ Касающиеся окружности ] [ Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих ] [ Инверсия помогает решить задачу ] [ Построение окружностей ]

Сложность: 5 Классы: 8,9

Условие

Даны две точки A и B и окружность S . С помощью циркуля и линейки постройте окружность, проходящую через точки A и B и касающуюся окружности S .

Решение

Предположим, что искомая окружность S1 построена. Пусть P — точка касания двух окружностей, а M — точка пересечения общей касательной к этим окружностям, проходящей через точку P , с прямой AB .
Проведём через точку M прямую, пересекающую окружность S в двух точках C и D . Тогда MD· MC = MP2 = MA· MB . Следовательно, точки A , B , C и D лежат на одной окружности.
Отсюда вытекает следующий способ построения. Пусть центр данной окружности S не лежит на серединном перпендикуляре к отрезку AB (иначе построение упрощается). Возьмём на окружности S произвольную точку C и опишем окружность около треугольника ABC . Пусть D — вторая точка пересечения построенной окружности с окружностью S , M — точка пересечения прямых CD и AB . Проведём из точки M касательные MP и MQ к окружности S ( P и Q — точки касания). Тогда описанные окружности треугольников ABP и ABQ — искомые, поскольку MP2 = MQ2 = MA· MB .



Пусть точки A и B расположены вне окружности S . Предположим, задача решена: построена окружность l , проходящая через данные точки A и B и касающаяся данной окружности S в некоторой точке M (рис.2).
Рассмотрим инверсию с центром в точке A . Прямая AB , проходящая через центр инверсии, перейдёт в себя, точка B — в точку B' этой прямой, окружность S , не проходящая через центр инверсии, — в некоторую окружность S' , точка M — в некоторую точку M' , а окружность l , проходящая через центр инверсии, — в прямую B'M' , касающуюся окружности S' в точке M' (рис.3).
Отсюда вытекает следующее построение. Строим образ B' точки B при инверсии относительно произвольной окружности с центром A , затем — образ S' данной окружности S . Из точки B' проводим касательные к окружности S' . Еще раз применяем ту же инверсию. Тогда построенные касательные переходят в искомые окружности.
Аналогично для случая, когда точки A и B расположены внутри окружности S .

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	4777