Докажите, что  x² + y² + 1 ≥ xy + x + y  при любых x и y.

   Решение

Каждый из голосующих на выборах вносит в избирательный бюллетень фамилии 10 кандидатов. На избирательном участке находится 11 урн. После выборов выяснилось, что в каждой урне лежит хотя бы один бюллетень и при всяком выборе 11 бюллетеней по одному из каждой урны найдется кандидат, фамилия которого встречается в каждом из выбранных бюллетеней. Докажите, что по крайней мере в одной урне все бюллетени содержат фамилию одного и того же кандидата.

   Решение

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

   Решение

Темы:    [ Вневписанные окружности ] [ Две касательные, проведенные из одной точки ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что катет прямоугольного треугольника равен сумме радиуса вписанной окружности и радиуса вневписанной окружности, касающейся этого катета.

Подсказка

Пусть BC — катет прямоугольного треугольника ABC ( C = 90^o). Докажите, что расстояние от вершины B до точки касания гипотенузы со вписанной окружностью равно радиусу вневписанной окружности, касающейся катета BC.

Решение

Пусть O — центр вписанной окружности прямоугольного треугольника ABC, P — точка касания этой окружности с катетом BC, r — радиус этой окружности. Пусть также окружность с центром в точке O₁ и радиусом R касается катета BC в точке Q и, кроме того, касается продолжений катета AC и гипотенузы AB.

Отрезок OO₁ виден из точек C и B под прямым углом. Поэтому точки B и C лежат на окружности с диаметром OO₁. Следовательно,

BOO₁ = BCO₁ = 45^o.

Пусть M и N точки касания окружностей с прямой AB (AM < AN). Тогда треугольники OMB и BNO₁ равны по гипотенузе и острому углу. Поэтому BM = O₁N = R. Следовательно,

Источники и прецеденты использования