Версия для печати
Убрать все задачи

---

На отрезке MN построены подобные, одинаково ориентированные треугольники AMN, NBM и MNC (см. рис.).
Докажите, что треугольник ABC подобен всем этим треугольникам, а центр его описанной окружности равноудален от точек M и N.

   Решение

---

В ребусе ЯЕМЗМЕЯ = 2020 замените каждую букву в левой части равенства цифрой или знаком арифметического действия (одинаковые буквы одинаково, разные – по-разному) так, чтобы получилось верное равенство. Достаточно привести один пример, пояснений не требуется.

   Решение

---

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

   Решение

Темы:    [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Внутри остроугольного треугольника ABC дана точка P, причём APB = ACB + 60^o, BPC = BAC + 60^o, CPA = CBA + 60^o. Докажите, что точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC лежат в вершинах равностороннего треугольника.

Подсказка

Угол между пересекающимися хордами окружности равен полусумме противоположных дуг, высекаемых этими хордами.

Решение

Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки пересечения продолжений отрезков AP, BP и CP (за точку P) с описанной окружностью треугольника ABC,BAC = . Тогда BPC = + 60^o.

С другой стороны,

Из уравнения

находим, что B₁AC₁ = 120^o. Следовательно, B₁A₁C₁ = 60^o. Аналогично A₁B₁C₁ = 60^o.

Источники и прецеденты использования