Версия для печати
Убрать все задачи

---

Решите систему:
 

   Решение

---

Пусть X – такая точка внутри треугольника ABC, что  XA·BC = XB·AC = XC·AB;  I₁, I₂, I₃ – центры вписанных окружностей треугольников XBC, XCA и XAB соответственно. Докажите, что прямые AI₁, BI₂ и CI₃ пересекаются в одной точке.

   Решение

---

Докажите, что среди семи различных чисел всегда можно выбрать два числа x и y так, чтобы выполнялось неравенство

   Решение

---

Докажите, что среднее арифметическое всех делителей натурального числа n лежит на отрезке  

   Решение

---

На сторонах AB, BC, CD и DA вписанного четырёхугольника ABCD, длины которых равны a, b, c и d, внешним образом построены прямоугольники размером a×с, b×d, с×a и d×b. Докажите, что их центры являются вершинами прямоугольника.

   Решение

---

Для каждого натурального  n > 1  существует такое число c_n, что для любого x произведение синуса числа x, синуса числа  x + ^π/_n,  синуса числа
x + ^2π/_n,  ..., наконец, синуса числа  x + ^{(n – 1)π}/_n  равно произведению числа c_n на синус числа nx. Докажите это и найдите величину c_n.

   Решение

---

Высота прямоугольного треугольника, опущенная на гипотенузу, равна h.
Какую наименьшую длину может иметь медиана, проведённая из вершины большего острого угла?

   Решение

---

Сумма восьми чисел равна ⁴/₃. Оказалось, что сумма каждых семи чисел из этих восьми – положительна. Какое наименьшее целое значение может принимать наименьшее из данных чисел?

   Решение

---

X – число, большее 2. Некто пишет на карточках числа:   1, X, X², X³, X⁴, ..., X^k (каждое число только на одной карточке). Потом часть карточек он кладёт себе в правый карман, часть   в левый, остальные выбрасывает. Докажите, что сумма чисел в правом кармане не может быть равна сумме чисел в левом.

   Решение

---

Отрезки AA1 , BB1 и CC1 , концы которых лежат на сфере радиуса 10, попарно перпендикулярны и пересекаются в точке M . Известно, что AA1=12 , BB1 =18 и CM:MC1=11:3 . Найдите расстояние от центра сферы до точки M,

   Решение

---

Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.

   Решение

Темы:    [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Симметрия и построения ] [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Постройте четырёхугольник ABCD по четырём сторонам, если известно, что его диагональ AC является биссектрисой угла A.

Подсказка

Рассмотрите симметрию относительно прямой AC.

Решение

Предположим, что нужный четырёхугольник ABCD построен. Пусть AB = a, BC = b, CD = c, AD = d — данные стороны (для определенности будем считать, что a d), AC — биссектриса угла A.

При симметрии относительно прямой AC точка B переходит в точку B₁ луча AD. Поэтому

В треугольнике CB₁D известны все стороны.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим треугольник CB₁D по трём сторонам ( DB₁ = d - a, CB₁ = b, CD = c). Затем на продолжении стороны DB₁ за точку B₁ откладываем отрезок B₁A = a. Тогда AC — диагональ искомого четырёхугольника. Вершина B симметрична точке точке B₁ относительно прямой AC.

Если ADAB и существует треугольник со сторонами b, c и d - a, то задача имеет единственное решение. Если a = d и b = c, то решений бесконечно много. Если же a = d, а cb, то решений нет.

Источники и прецеденты использования