Версия для печати
Убрать все задачи

---

Будем говорить, что две пирамиды соприкасаются гранями, если эти пирамиды не имеют общих внутренних точек и некоторая грань одной пирамиды пересекается с некоторой гранью другой пирамиды по многоугольнику. Можно ли расположить восемь пирамид в пространстве так, чтобы каждые две соприкасались гранями?

   Решение

---

Дан вписанный четырёхугольник ABCD. Лучи AB и DC пересекаются в точке K. Оказалось, что точки B, D, а также середины M и N отрезков AC и KC лежат на одной окружности. Какие значения может принимать угол ADC?

   Решение

---

От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.

   Решение

Темы:    [ Экстремальные свойства. Задачи на максимум и минимум. ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

От данного угла двумя прямыми разрезами длиной 1 отрежьте многоугольник наибольшего возможного периметра.

Подсказка

Разрезы сложатся в отрезок длины 2, и этим отрезком надо отсечь равнобедренный треугольник.

Решение

Докажем, сначала, что среди всех треугольников с данной стороной AB и данным противолежащим углом C наибольший периметр имеет равнобедренный.

Действительно, пусть A₁ — точка, симметричная вершине A относительно биссектрисы внешнего угла C треугольника ABC. Тогда

а точка A₁ лежит лежит на окружности, проходящей через точки A и B так, что AB = C.

Если BA₁ максимально, то BA₁ — диаметр. Тогда C — центр этой окружности и CA = CB.

Пусть теперь C — вершина данного угла, BM и AM — разрезы длины 1 (точки B и A лежат на сторонах угла). Зафиксируем угол между BM и AM, при этом CB + CA максимально, когда AC = BC, т.е. точка M лежит на биссектрисе угла C. Если так, то BC + AC максимально, когда BMC = 90^o. Следовательно, BMA = 180^o и AC = BC.

Источники и прецеденты использования