Задача 55723

Темы:    [ Поворот помогает решить задачу ] [ Поворот на $90^\circ$ ] [ Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Условие

Автор: Виленкин А.Н.

Внутри квадрата A₁A₂A₃A₄ взята точка P. Из вершины A₁ опущен перпендикуляр на A₂P, из A₂ — перпендикуляр на A₃P, из A₃ — на A₄P, из A₄ — на A₁P. Докажите, что все четыре перпендикуляра (или их продолжения) пересекается в одной точке.

Подсказка

Рассмотрите поворот на 90^o вокруг центра квадрата.

Решение

При повороте вокруг центра квадрата на 90^o, переводящем точку A₁ в точку A₂, перпендикуляры, опущенные из вершин A₁, A₂, A₃, A₄, переходят в прямые A₂P, A₃P, A₄P и A₁P соответственно. Поэтому точкой их пересечения является образ точки P при обратном повороте.

Источники и прецеденты использования

web-сайт
Название	Система задач по геометрии Р.К.Гордина
URL	http://zadachi.mccme.ru
задача
Номер	6007
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	8
Тур	2
задача
Номер	5
олимпиада
Название	Московская математическая олимпиада
год
Номер	34
Год	1971
вариант
Класс	7
Тур	2
задача
Номер	2
журнал
Название	"Квант"
год
Год	1971
выпуск
Номер	5
Задача
Номер	М81
книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	18
Название	Поворот
Тема	Поворот
параграф
Номер	1
Название	Поворот на 90 градусов
Тема	Поворот на $90^\circ$
задача
Номер	18.004