Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

Каждая из двух равных окружностей ω₁ и ω₂ проходит через центр другой. Треугольник ABC вписан в ω₁, а прямые AC, BC касаются ω₂.
Докажите, что  cos∠A + cos∠B = 1.

   Решение

Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.

   Решение

Даны две концентрические окружности S₁ и S₂. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.

   Решение

Темы:    [ Центральная симметрия помогает решить задачу ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Гомотетия помогает решить задачу ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две концентрические окружности S₁ и S₂. С помощью циркуля и линейки проведите прямую, на которой эти окружности высекают три равных отрезка.

Подсказка

Примените симметрию относительно произвольной точки меньшей окружности.

Решение

Предположим, что задача решена. Пусть A, B, C и D — последовательные точки пересечения проведённой прямой с окружностями S₁ и S₂ (A и D лежат на S₁, а B и C — на S₂), и AB = BC = CD. При симметрии относительно точки C точка B переходит в точку D, а окружность S₂ в равную ей окружность, проходящую через точку D.

Отсюда вытекает следующий способ построения. Строим образ S меньшей окружности S₂ относительно её произвольной точки C. Если D — точка пересечения окружностей S и S₁, то прямая CD — искомая.

При гомотетии с коэффициентом относительно произвольной точки D большей окружности точка B переходит в точку C. Следовательно, задача сводится к построению образа меньшей окружности при гомотетии относительно произвольной точки большей окружности с коэффициентом .

Источники и прецеденты использования