Версия для печати
Убрать все задачи

---

Рассматривается последовательность  1, ½, ⅓, ¼, ⅕, ⅙, ¹/₇, ...  Существует ли арифметическая прогрессия
  а) длины 5;
  б) сколь угодно большой длины,
составленная из членов этой последовательности?

   Решение

---

В таблицу n*n записаны n² чисел, сумма которых неотрицательна. Докажите, что можно переставить столбцы таблицы так, что сумма n чисел, расположенных по диагонали, идущей из левого нижнего угла в правый верхний, будет неотрицательна.

   Решение

Тема:    [ Окружности, вписанные в сегмент ]

Сложность: 8 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

На стороне BC треугольника ABC взята точка D. Окружность S₁ касается отрезков BE и EA и описанной окружности, окружность S₂ касается отрезков CE и EA и описанной окружности. Пусть I, I₁, I₂ и r, r₁, r₂ -- центры и радиусы вписанной окружности и окружностей S₁, S₂; = ADB. Докажите, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причём I₁I : II₂ = tg². Докажите также, что r = r₁cos² + r₂sin² (Тебо).

Решение

Пусть E₁ и E₂ — основания перпендикуляров, опущенных из точек I₁ и I₂ на прямую AC. Согласно задаче 3.46 точка I является точкой пересечения прямой, проходящей через точку E₁ и точку касания прямой BD и окружности S₁, и прямой, проходящей через точку E₂ и точку касания прямой BD и окружности S₂. Пусть F₁ — точка пересечения прямых E₁I₁ и E₂I, F₂ — точка пересечения прямых E₂I₂ и E₁I. Ясно, что DI₁E₁I, DI₂E₂I и DI₁DI₂. Поэтому I₁D || F₁E₂ и I₂D || F₂E₁. Следовательно, E₁I₁ : I₁F₁ = E₁D : DE₂ = F₂I₂ : I₂E₂. Это означает, что точка I лежит на отрезке I₁I₂, причем

Пусть E — проекция точки I на прямую AC. Тогда r = IE. Согласно задаче 1.1 б)

Источники и прецеденты использования