В прямоугольном треугольнике $ABC$ ($\angle C=90^{\circ}$) вписанная окружность касается катета $BC$ в точке $K$. Докажите, что хорда вписанной окружности, высекаемая прямой $AK$ в два раза больше, чем расстояние от вершины $C$ до этой прямой.

   Решение

Постройте четырехугольник ABCD по четырем углам и длинам сторон AB = a и CD = b.

   Решение

Трапеция $ABCD$ вписана в окружность. Её основание $AB$ в 3 раза больше основания $CD$. Касательные к описанной окружности в точках $A$ и $C$ пересекаются в точке $K$. Докажите, что угол $KDA$ прямой.

   Решение

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab ^. CD/2p.

   Решение

Тема:    [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Диагонали четырехугольника ABCD пересекаются в точке P. Расстояния от точек A, B и P до прямой CD равны a, b и p. Докажите, что площадь четырехугольника ABCD равна  ab ^. CD/2p.

Решение

Пусть площади треугольников  APB, BPC, CPD и DPA равны  S₁, S₂, S₃ и S₄. Тогда  a/p = (S₃ + S₄)/S₃ и  b ^. CD/2 = S₃ + S₂, а значит,  ab ^. CD/2p = (S₃+S₄)(S₃+S₂)/S₃. Учитывая, что  S₂S₄ = S₁S₃, получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования