Докажите, что если точка пересечения высот остроугольного треугольника делит высоты в одном и том же отношении, то треугольник правильный.

   Решение

В треугольнике ABC медианы AA₀, BB₀, CC₀ пересекаются в точке M.
Докажите, что центры описанных окружностей треугольников MA₀B₀, MCB₀, MA₀C₀, MBC₀ и точка M лежат на одной окружности.

   Решение

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

   Решение

В банде 101 террорист. Все вместе они в вылазках ни разу не участвовали, а каждые двое встречались в вылазках ровно по разу.
Докажите, что один из террористов участвовал не менее чем в 11 различных вылазках.

   Решение

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

   Решение

Тема:    [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3 Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

Точки D и E делят стороны AC и AB правильного треугольника ABC в отношениях  AD : DC = BE : EA = 1 : 2. Прямые BD и CE пересекаются в точке O. Докажите, что  AOC = 90^o.

Решение

Пусть точка F делит отрезок BC в отношении CF : FB = 1 : 2; P и Q — точки пересечения отрезка AF с BD и CE соответственно. Ясно, что треугольник OPQ правильный. Используя результат задачи 1.3, легко проверить, что AP : PF = 3 : 4 и AQ : QF = 6 : 1. Следовательно,  AP : PQ : QF = 3 : 3 : 1, а значит, AP = PQ = OP. Поэтому  AOP = (180^o - APO)/2 = 30^o и  AOC = AOP + POQ = 90^o.

Источники и прецеденты использования