Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .

   Решение

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

   Решение

Докажите справедливость формулы  

   Решение

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

   Решение

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

   Решение

Темы:    [ Окружность, вписанная в угол ] [ Касающиеся окружности ] [ Теорема Пифагора (прямая и обратная) ] [ Теорема косинусов ] [ Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

Решение

  Длина общей касательной к данным окружностям равна    поэтому     то есть     Согласно задаче 57619 б)  
  Поэтому существует угол γ₁, для которого  
  Мы проверили, что треугольник со сторонами a₁, b₁, c₁ действительно существует; кроме того, угол между сторонами a₁ и b₁ равен γ₁. Диаметр описанной окружности этого треугольника равен     поскольку   c = p – r ctg ^γ/₂.

Источники и прецеденты использования