Версия для печати
Убрать все задачи

---

Дан равнобедренный треугольник ABC  (AB = AC).  На меньшей дуге AB описанной около него окружности взята точка D. На продолжении отрезка AD за точку D выбрана точка E так, что точки A и E лежат в одной полуплоскости относительно BC. Описанная окружность треугольника BDE пересекает сторону AB в точке F. Докажите, что прямые EF и BC параллельны.

   Решение

Темы:    [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Касающиеся окружности ] [ Три прямые, пересекающиеся в одной точке ]

Сложность: 4 Классы: 9,10

Прислать комментарий

Условие

Окружность S касается окружностей S₁ и S₂ в точках A₁ и A₂.
Докажите, что прямая A₁A₂ проходит через точку пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Решение

Пусть O, O₁ и O₂ – центры окружностей S, S₁ и S₂; X – точка пересечения прямых O₁O₂ и A₁A₂. Применяя теорему Менелая к треугольнику OO₁O₂ и точкам A₁, A₂ и X, получаем    а значит,  O₁X : O₂X = R₁ : R₂,  где R₁ и R₂ – радиусы окружностей S₁ и S₂. Следовательно, X – точка пересечения общих внешних или общих внутренних касательных к окружностям S₁ и S₂.

Источники и прецеденты использования