Выбрано 3 задачи 
Убрать все задачи
a, b, c > 0 и abc = 1. Известно, что a + b + c > 1/a + 1/b + 1/c. Докажите, что ровно одно из чисел a, b, c больше 1.
В Театре собираются поставить грандиозную пьесу из двух актов, в которой освещение имеет большое значение. Сцена театра имеет форму выпуклого многоугольника, заданного вершинами в декартовой прямоугольной системе координат. Над сценой находится прожектор, который может перемещаться над ней произвольным образом. Находясь в некоторой точке, прожектор освещает круглую область с центром в этой точке и радиусом R.
В первом акте на сцене лежат квадратные ковры размером HxH, стороны которых параллельны осям координат. Ковры могут частично выходить за пределы сцены. Рассмотрим фигуру, которая состоит из всех точек, находясь в которых, прожектор не освещает ни один из ковров и не освещает территорию вне сцены. Обозначим ее площадь как S1.
Перед вторым актом ковры убирают со сцены. Рассмотрим фигуру, которая состоит из всех точек, находясь в которых прожектор не освещает территорию вне сцены. Ее площадь обозначим как S2.
Задание
По предоставленным входным файлам, каждый из которых описывает сцену и размещение на ней ковров в первом акте, создайте соответствующие им выходные файлы, которые содержат площади S1 и S2 описанных выше фигур.
Входные данные
На вашем диске в каталоге DATA содержатся 10 файлов, которые имеют названия THEATER.D01, THEATER.D02, : , THEATER.D10, следующего формата.
В первой строке заданы числа R, H, N, M. Где R - радиус области, которую освещает прожектор. H - длина стороны квадрата, который представляет ковер. N - количество вершин выпуклого многоугольника, который задает сцену. M - количество ковров. Во второй строке находятся N пар чисел - координаты вершин многоугольника в порядке обхода (по или против часовой стрелки). В третьей строке находятся M пар чисел - координаты центров ковров.
Выходные данные
Создайте 10 выходных файлов THEATER.S01, THEATER.S02, : , THEATER.S10 в вашем каталоге на дискете. Эти файлы должны содержать ответы для соответствующих входных файлов.
Каждый файл должен содержать два числа - целые части площадей S1 и S2. Вам не нужно сдавать программу! Баллы будут начисляться за файлы с правильными ответами.
Пример входных и выходных данных
|
THEATER.D00 |
THEATER.S00 |
|
0.5 2 4 1 1 1 5 1 5 4 1 4 3 4 |
3 6 |
а) Пусть
,
и
— произвольные углы, причем
сумма любых двух из них меньше
180o. На сторонах
треугольника ABC внешним образом построены треугольники
A1BC, AB1C
и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы
,
и
.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
|
|
 |
Условие
а) Пусть
,
и
— произвольные углы, причем
сумма любых двух из них меньше
180o. На сторонах
треугольника ABC внешним образом построены треугольники
A1BC, AB1C
и ABC1, имеющие при вершинах A, B и C углы
,
и
.
Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.
б) Докажите аналогичное утверждение для треугольников,
построенных на сторонах треугольника ABC внутренним образом.
Решение
Пусть прямые AA1, BB1 и CC1 пересекают
прямые BC, CA и AB в точках A2, B2 и C2.
а) Если
B +
< 180o и
C +
< 180o, то
=
=
=
.
.
.
Последнее выражение равно
:
во всех случаях.
Запишем аналогичные выражения для
:
и
:
и перемножим их. Остается
воспользоваться теоремой Чевы.
б) Точка A2 лежит вне отрезка BC, только если ровно один
из углов и
больше соответствующего ему угла B или C.
Поэтому
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 8 |
| Название | Теорема Чевы |
| Тема | Теоремы Чевы и Менелая |
| задача | |
| Номер | 05.075 |
