Задача 56946

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 6 Классы: 9,10

Условие

Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.

Решение

Проведем хорду PQ, перпендикулярную BC. Пусть точки H' и P' симметричны точкам H и P относительно прямой BC; точка H' лежит на описанной окружности треугольника ABC (задача 5.9). Докажем сначала, что AQ| P'H. В самом деле,  (AH', AQ) = (PH', PQ) = (AH', P'H). Прямая Симсона точки P параллельна AQ (задача 5.95), т. е. она проходит через середину стороны PP' треугольника PP'H и параллельна стороне P'H, а значит, она проходит через середину стороны PH.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.096