Задача 56946
|
|
 |
Условие
Высоты треугольника ABC пересекаются в точке H; P — точка его описанной окружности. Докажите, что прямая Симсона
точки P относительно треугольника ABC делит отрезок PH пополам.
Решение
Проведем хорду PQ, перпендикулярную BC. Пусть
точки H' и P' симметричны точкам H и P относительно
прямой BC; точка H' лежит на описанной окружности треугольника ABC
(задача 5.9). Докажем сначала, что AQ| P'H. В самом деле,
(AH', AQ) =
(PH', PQ) =
(AH', P'H). Прямая Симсона
точки P параллельна AQ (задача 5.95), т. е. она проходит через
середину стороны PP' треугольника PP'H и параллельна стороне P'H,
а значит, она проходит через середину стороны PH.
Источники и прецеденты использования
| книга | |
| Автор | Прасолов В.В. |
| Год издания | 2001 |
| Название | Задачи по планиметрии |
| Издательство | МЦНМО |
| Издание | 4* |
| глава | |
| Номер | 5 |
| Название | Треугольники |
| параграф | |
| Номер | 9 |
| Название | Прямая Симсона |
| Тема | Прямая Симсона |
| задача | |
| Номер | 05.096 |
