Задача 56947

Тема:    [ Прямая Симсона ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Четырехугольник ABCD вписан в окружность; l_a — прямая Симсона точки A относительно треугольника BCD, прямые l_b, l_c и l_d определяются аналогично. Докажите, что эти прямые пересекаются в одной точке.

Решение

Пусть  H_a, H_b, H_c и H_d — ортоцентры треугольников  BCD, CDA, DAB и ABC. Прямые  l_a, l_b, l_c и l_d проходят через середины отрезков  AH_a, BH_b, CH_c и DH_d (см. задачу 5.96). Середины этих отрезков совпадают с такой точкой H, что  2 = + + + , где O — центр окружности (см. задачу 13.33).

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	9
Название	Прямая Симсона
Тема	Прямая Симсона
задача
Номер	05.097