Задача 56989

Тема:    [ Точка Лемуана ]

Сложность: 6 Классы: 9

Условие

Докажите, что центр окружности Тукера лежит на прямой KO, где K — точка Лемуана, O — центр описанной окружности.

Решение

Воспользуемся обозначениями из задачи 5.145B. Пусть O' -- центр описанной окружности треугольника A'B'C'. Ясно, что точка O' лежит на прямой KO. Рассмотрим точку O₁ — середину отрезка OO'. Докажем, что O₁ — центр окружности Тукера. Пусть O₁M — средняя линия трапеции AOO'A'. Тогда O₁M || AO. А так так AOB₁C₂ (задача 5.139B), то O₁M -- серединный перпендикуляр к отрезку B₁C₂. Таким образом, O₁ — точка пересечения серединных перпендикуляров к отрезкам B₁C₂, C₁A₂ и A₁B₂.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	5
Название	Треугольники
параграф
Номер	13
Название	Точка Лемуана
Тема	Точка Лемуана
задача
Номер	05.145B1