На одной из медиан треугольника $ABC$ нашлась такая точка $P$, что $\angle PAB=\angle PBC=\angle PCA$. Докажите, что на другой медиане найдется такая точка $Q$, что $\angle QBA=\angle QCB=\angle QAC$.

   Решение

Для всякого ли выпуклого четырёхугольника найдётся окружность, пересекающая каждую его сторону в двух внутренних точках?

   Решение

Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

   Решение

Тема:    [ ГМТ - прямая или отрезок ]

Сложность: 3 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны две прямые, пересекающиеся в точке O. Найдите ГМТ X, для которых сумма длин проекций отрезков OX на эти прямые постоянна.

Решение

Пусть  a и  b — единичные векторы, параллельные данным прямым;  x = . Сумма длин проекций вектора  x на данные прямые равна  |(a,x)| + |(b,x)| = |(a±b,x)|, причем смена знака происходит на перпендикулярах, восставленных из точки O к данным прямым. Поэтому искомое ГМТ — прямоугольник, стороны которого параллельны биссектрисам углов между данными прямыми, а вершины лежат на указанных перпендикулярах.

Источники и прецеденты использования