Собралось n человек. Некоторые из них знакомы между собой, причём каждые два незнакомых имеют ровно двух общих знакомых, а каждые два знакомых не имеют общих знакомых. Доказать, что каждый из присутствующих знаком с одинаковым числом человек.

   Решение

Докажите, что нетождественное проективное преобразование прямой имеет не более двух неподвижных точек.

   Решение

Докажите, что касающиеся окружности (окружность и прямая) переходят при инверсии в касающиеся окружности или в окружность и прямую, или в пару параллельных прямых.

   Решение

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

   Решение

Тема:    [ Четырехугольники (построения) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Прислать комментарий

Условие

Даны середины трех равных сторон выпуклого четырехугольника. Постройте этот четырехугольник.

Решение

Пусть P, Q, R — середины равных сторон AB, BC, CD четырехугольника ABCD. Проведем серединные перпендикуляры l₁ и l₂ к отрезкам PQ и QR. Поскольку AB = BC = CD, точки B и C лежат на прямых l₁ и l₂ и BQ = QC.
Из этого вытекает следующее построение. Проводим серединные перпендикуляры l₁ и l₂ к отрезкам PQ и QR. Затем через точку Q проводим отрезок с концами на прямых l₁ и l₂ так, чтобы Q была его серединой (см. задачу 16.15).

Источники и прецеденты использования