Версия для печати
Убрать все задачи

---

Докажите, что любой остроугольный треугольник площади 1 можно поместить в прямоугольный треугольник площади .

   Решение

---

Доказать, что существует бесконечно много чисел, не представимых в виде суммы трёх кубов.

   Решение

---

Докажите справедливость формулы  

   Решение

---

На сторонах правильного треугольника ABC как на основаниях внутренним образом построены равнобедренные треугольники  A₁BC, AB₁C и ABC₁ с углами α, β и γ при основаниях, причём  α + β + γ = 60°.  Прямые BC₁ и B₁C пересекаются в точке A₂, AC₁ и A₁C – в точке B₂, AB₁ и A₁B – в точке C₂. Докажите, что углы треугольника A₂B₂C₂ равны 3α, 3β и 3γ.

   Решение

---

Окружность радиуса u_a вписана в угол A треугольника ABC, окружность радиуса u_b вписана в угол B; эти окружности касаются друг друга внешним образом. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника со сторонами     равен    где p – полупериметр треугольника ABC.

   Решение

---

Напечатать в порядке возрастания все простые несократимые дроби, заключенные между 0 и 1, знаменатели которых не превышают 7.

   Решение

---

В каждый из углов треугольника ABC вписано по окружности. Из одной вершины окружности, вписанные в два других угла, видны под равными углами. Из другой – тоже. Докажите, что тогда и из третьей вершины две окружности видны под равными углами.

   Решение

---

Докажите, что для любого натурального a найдётся такое натуральное n, что все числа  n + 1,  nⁿ + 1,  nⁿⁿ + 1,  ...  делятся на a.

   Решение

---

Докажите, что среди 51 целого числа найдутся два, квадраты которых дают одинаковые остатки при делении на 100.

   Решение

---

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

   Решение

Тема:    [ Площадь. Одна фигура лежит внутри другой ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что в любой выпуклый многоугольник площади 1 можно поместить треугольник, площадь которого не меньше: а) 1/4; б) 3/8.

Решение

а) Заключим многоугольник в полосу, образованную параллельными прямыми. Будем сдвигать эти прямые параллельно до тех пор, пока на каждую из них не попадут некоторые вершины A и B многоугольника. Затем проделаем то же самое для полосы, образованной прямыми, параллельными AB. На эти прямые попадут некоторые вершины C и D (рис.). Исходный многоугольник заключен в параллелограмм, поэтому площадь этого параллелограмма не меньше 1. С другой стороны, сумма площадей треугольников ACB и ADB равна половине площади параллелограмма, поэтому площадь одного из этих треугольников не меньше 1/4.

б) Как и в задаче а), заключим многоугольник в полосу, образованную параллельными прямыми, так, чтобы вершины A и B лежали на этих прямых (рис.). Пусть ширина этой полосы равна d. Проведем три прямые, делящие эту полосу на равные полосы шириной d /4. Пусть первая и третья прямые пересекают стороны многоугольника в точках K, L и M, N соответственно.
Продолжим стороны, на которых лежат точки K, L, M и N, до пересечения со сторонами исходной полосы и с прямой, делящей ее пополам. При этом образуются две трапеции со средними линиями KL и MN, высоты которых равны d /2. Так как эти трапеции покрывают весь многоугольник, сумма их площадей не меньше его площади, т. е.  (d ^. KL + d ^. MN)/2 1. Сумма площадей треугольников AMN и BKL, содержащихся в исходном многоугольнике, равна  (3d ^. MN + 3d ^. KL)/8 3/4. Поэтому площадь одного из этих треугольников не меньше 3/8.

Источники и прецеденты использования