z₂, z₁, z₀ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда     – вещественное число, или   = .

   Решение

Исследуйте, сколько решений имеет система уравнений
    x² + y² + xy = a,
    x² – y² = b,
где а и b – некоторые данные действительные числа.

   Решение

В окружность радиуса 17 вписан четырёхугольник, диагонали которого взаимно перпендикулярны и находятся на расстоянии 8 и 9 от центра окружности. Найдите стороны четырёхугольника.

   Решение

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

   Решение

Тема:    [ Многоугольники (неравенства) ]

Сложность: 5+ Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Докажите, что при n 7 внутри выпуклого n-угольника найдется точка, сумма расстояний от которой до вершин больше периметра.

Решение

Пусть d — длина наибольшей диагонали (или стороны) AB данного n-угольника. Тогда его периметр P не превосходит d (задача 13.42). Пусть A_i' -- проекция вершины A_i на отрезок AB. Тогда  AA_i' nd /2 или  BA_i' nd /2 (задача 9.87); пусть для определенности выполняется первое неравенство. Тогда  AA_i > AA_i' nd /2 > nd P, так как  n/2 3, 5 > . Любая точка n-угольника, достаточно близкая к вершине A, обладает требуемым свойством.

Источники и прецеденты использования