Пусть a и b – действительные числа. Определим показательную функцию на множестве комплексных чисел равенством     Докажите формулу Эйлера:   e^a+ib = e^a(cos b + i sin b).

   Решение

Найдите значение дроби В*А*Р*Е*Н*Ь*Е / К*А*Р*Л*С*О*Н, где разные буквы – это разные цифры, а между буквами стоит знак умножения.

   Решение

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

   Решение

Тема:    [ Неравенства для остроугольных треугольников ]

Сложность: 4+ Классы: 8

Прислать комментарий

Условие

В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты  AA₁, BB₁ и CC₁. Докажите, что периметр треугольника A₁B₁C₁ не превосходит половины периметра треугольника ABC.

Решение

Согласно задаче 1.59 отношение периметров треугольников A₁B₁C₁ и ABC равно r/R. Кроме того, r R/2 (задача 10.26).
Замечание. Используя результат задачи 12.72, легко проверить, что S_A1B1C1/S_ABC = r₁/2R₁ 1/4.

Источники и прецеденты использования