Версия для печати
Убрать все задачи

---

На сколько частей делят плоскость n прямых общего положения, то есть таких, что никакие две не параллельны и никакие три не проходят через одну точку?

   Решение

---

Угол при вершине осевого сечения конуса равен 60^o . Внутри конуса расположены три сферы радиуса 1. Каждая сфера касается двух других, основания конуса и его боковой поверхности. Найдите радиус основания конуса.

   Решение

---

На сколько частей делят пространство n плоскостей, проходящих через одну точку, если никакие три не имеют общей прямой?

   Решение

---

Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA взяты точки C₁, A₁ и B₁, причем k из них лежат на сторонах треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть

Докажите, что:
а) точки A₁, B₁ и C₁ лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).

   Решение

---

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

   Решение

Тема:    [ Экстремальные свойства (прочее) ]

Сложность: 3 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

Внутри окружности с центром O дана точка A. Найдите точку M окружности, для которой угол OMA максимален.

Решение

Геометрическое место точек X, для которых угол OXA постоянен, состоит их двух симметричных относительно прямой OA дуг окружностей S₁ и S₂. Рассмотрим тот случай, когда диаметр окружностей S₁ и S₂ равен радиусу исходной окружности, т. е. эти окружности касаются исходной окружности в точках M₁ и M₂, для которых OAM₁ = OAM₂ = 90^o. Точки M₁ и M₂ являются искомыми, так как если OXA > OM₁A = OM₂A, то точка X лежит строго внутри фигуры, образованной окружностями S₁ и S₂, т. е. не может лежать на исходной окружности.

Источники и прецеденты использования