Задача 57641

Темы:    [ Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее) ] [ Правильные многоугольники ] [ Вспомогательные равные треугольники ] [ Частные случаи треугольников (прочее) ] [ Теорема синусов ] [ Теоремы Чевы и Менелая ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

Условие

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием BC угол при вершине A равен 80°. Внутри треугольника ABC взята точка M так, что
∠MBC = 30°  и  ∠MCB = 10°.  Найдите величину угла AMC.

Решение 1

Построим на стороне AC равносторонний треугольник ANC (см. рис.).

Поскольку  AB = AC = AN,  треугольник BAN равнобедренный, и  ∠ABN = ½ (180° – 20°) = 80°.  Поэтому  ∠CBN = 80° – 50° = 30°,  и треугольники BCM и BCN равны по общей стороне и двум углам. Значит, и треугольник ACM равнобедренный, а  ∠AMC = ½ (180° – 40°) = 70°.

Решение 2

Из треугольника BMC по теореме синусов получаем     Значит, треугольник ACM равнобедренный, и  ∠AMC = ½ (180° – 40°) = 70°.

Решение 3

Пусть A₀...A₁₇ – правильный восемнадцатиугольник. В качестве треугольника ABC можно взять треугольник A₅A₀A₁₀. Согласно задаче 57072 а) диагонали A₀A₇, A₅A₁₇ и A₁A₁₀ пересекаются в одной точке. Это и есть точка M. Поэтому  ∠AMC = ½ ( A₁₇A₁ + A₅A₁₀) = 70°.

  Замечание. Ср. с зад. 77963, где используется пересечение тех же диагоналей.

Ответ

70°.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	7
Название	Вычисление углов
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников (прочее)
задача
Номер	12.058