Информация о задаче

Задача 57659

Темы:	[	Метод координат на плоскости	]
Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]

Сложность: 3
Классы: 8,9,10

Прислать комментарий

Условие

а) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (0, 0), (x₁, y₁) и (x₂, y₂) равна ${\frac{1}{2}}$ | x₁y₂ – x₂y₁|.
б) Докажите, что площадь треугольника с вершинами в точках (x₁, y₁), (x₂, y₂) и (x₃, y₃) равна

$\displaystyle {\textstyle\frac{1}{2}}$ | x₁y₂ + x₂y₃ + x₃y₁ – x₂y₁ – x₁y₃ – x₃y₂|.

Решение

а) Прямая, проходящая через точки (0, 0) и (x₁, y₁), задаётся уравнением y₁x - x₁y = 0. Поэтому согласно задаче 12.75B- расстояние от точки (x₂, y₂) до этой прямой равно ${\frac{\vert y_1x_2-x_1y_2\vert}{\sqrt{x_1^2+y_1^2}}}$ . Это расстояние равно высоте рассматриваемого треугольника, опущенной на сторону длиной $\sqrt{x_1^2+y_1^2}$ .
б) Площадь рассматриваемого треугольника равна площади треугольника с вершинами в точках (0, 0), (x₁ - x₃, y₁ - y₃) и (x₂ - x₃, y₂ - y₃). Воспользовавшись формулой из задачи а), получаем требуемое.

Источники и прецеденты использования


книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	10
Название	Метод координат
Тема	Метод координат
задача
Номер	12.075B-1