Задача 57662

Темы:    [ Метод координат на плоскости ] [ Гомотетичные окружности ] [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Касающиеся окружности ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10

Условие

В треугольнике ABC угол C прямой. Докажите, что при гомотетии с центром C и коэффициентом 2 вписанная окружность переходит в окружность, касающуюся описанной окружности.

Решение

Пусть d — расстояние от центра описанной окружности до образа центра вписанной окружности при рассматриваемой гомотетии. Достаточно проверить, что R = d + 2r. Пусть  (0, 0),(2a, 0) и (0, 2b) — координаты вершин данного треугольника. Тогда (a, b) — координаты центра описанной окружности, (r, r) — координаты центра вписанной окружности, причем r = a + b - R. Следовательно,  d² = (2r - a)² + (2r - b)² = a² + b² - 4r(a + b - r) + 4r² = (R - 2r)², так как  a² + b² = R².

Источники и прецеденты использования

книга
Автор	Прасолов В.В.
Год издания	2001
Название	Задачи по планиметрии
Издательство	МЦНМО
Издание	4*
глава
Номер	12
Название	Вычисления и метрические соотношения
Тема	Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
параграф
Номер	10
Название	Метод координат
Тема	Метод координат
задача
Номер	12.077