Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru 		О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Выбрано 7 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Автор: Шаповалов А.В.

Можно ли целые числа от 1 до 2004 расставить в некотором порядке так, чтобы сумма каждых десяти подряд стоящих чисел делилась на 10?

Вниз   Решение

Докажите, что медиана разбивает треугольник на два равновеликих треугольника.

ВверхВниз   Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Имеется несколько городов, некоторые из них соединены автобусными маршрутами (без остановок в пути). Из каждого города можно проехать в любой другой (возможно, с пересадками). Иванов купил по одному билету на каждый маршрут (то есть может проехать по нему один раз всё равно в какую сторону). Петров купил n билетов на каждый маршрут. Иванов и Петров выехали из города A. Иванов использовал все свои билеты, новых не покупал и оказался в другом городе B. Петров некоторое время ездил по купленным билетам, оказался в городе X и не может из него выехать, не купив новый билет. Докажите, что X – это либо A, либо B

ВверхВниз   Решение

Дан треугольник ABC. Найти такую точку, что если её симметрично отразить от любой стороны треугольника, то она попадает на описанную окружность.

ВверхВниз   Решение

Автор: Фольклор

Существует ли многогранник (не обязательно выпуклый), полных список рёбер которого имеет вид: AB, AC, BC, BD, CD, DE, EF, EG, FG, FH, GH, AH (на рисунке приведена схема соединения рёбер)?

ВверхВниз   Решение

Рассеянный Ученый сконструировал прибор, состоящий из датчика и передатчика. Средний срок (математическое ожидание) службы датчика 3 года, средний срок службы передатчика 5 лет. Зная распределения срока службы датчика и передатчика, Рассеянный Ученый вычислил, что средний срок службы всего прибора равен 3 года 8 месяцев. Не ошибся ли Рассеянный Ученый в своих расчетах?

ВверхВниз   Решение

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Вверх   Решение

Задача 57799
Тема:    [ Трилинейные координаты ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10
 Из корзины
Прислать комментарий

Условие

На сторонах треугольника ABC внешним (внутренним) образом построены правильные треугольники ABC1, AB1C и A1BC. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке. Найдите трилинейные координаты этой точки.

Решение

Точка C1 имеет трилинейные координаты

$\displaystyle \left(\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right): \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right): \mp\sin\frac{\pi}{3}}\right.$sin$\displaystyle \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \beta$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : sin$\displaystyle \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$\displaystyle \alpha$±$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ : $\displaystyle \mp$sin$\displaystyle {\frac{\pi}{3}}$$\displaystyle \left.\vphantom{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right): \sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right): \mp\sin\frac{\pi}{3}}\right)$,

где верхний знак соответствует треугольникам, построенным внешним образом, а нижний — внутренним. Поэтому прямая CC1 задается уравнением x sin$ \left(\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$ \alpha$±$ {\frac{\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\alpha\pm\frac{\pi}{3}}\right)$ = y sin$ \left(\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right.$$ \beta$±$ {\frac{\pi}{3}}$$ \left.\vphantom{\beta\pm\frac{\pi}{3}}\right)$. Таким образом, точка с трилинейными координатами

$\displaystyle \left(\vphantom{ \frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right... ...c{\pi}{3}\right)}: \frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)} }\right.$$\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\beta\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$ : $\displaystyle {\frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)}}$$\displaystyle \left.\vphantom{ \frac{1}{\sin\left(\alpha\pm\frac{\pi}{3}\right... ...c{\pi}{3}\right)}: \frac{1}{\sin\left(\gamma\pm\frac{\pi}{3}\right)} }\right)$

является точкой пересечения прямых AA1, BB1 и CC1.

Источники и прецеденты использования

книга
Автор Прасолов В.В.
Год издания 2001
Название Задачи по планиметрии
Издательство МЦНМО
Издание 4*
глава
Номер 14
Название Центр масс
Тема Центр масс
параграф
Номер 6
Название Трилинейные координаты
Тема Трилинейные координаты
задача
Номер 14.044B
© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .