Условие
Докажите, что композицию чётного числа симметрий относительно прямых нельзя
представить в виде композиции нечётного числа симметрий относительно прямых.
Решение
Предположим, что некоторое движение можно представить в виде композиции как
чётного, так и нечётного числа симметрий относительно прямых. Тогда, с одной
стороны, согласно задаче 17.37 это движение является скользящей
симметрией относительно некоторой прямой l. Поэтому оно переводит прямую l
в себя, но никакую другую прямую, параллельную l, оно в себя не переводит.
Кроме того, скользящая симметрия либо не оставляет никакие точки неподвижными,
либо оставляет неподвижными все точки прямой l. С другой стороны, согласно
задаче 17.36 рассматриваемое движение является поворотом или параллельным
переносом. Но поворот оставляет неподвижной ровно одну точку, а параллельный
перенос переводит в себя каждую прямую некоторого семейства параллельных
прямых.
Замечание.
Если воспользоваться таким понятием, как направление обхода окружности, то
можно сказать, что собственное движение сохраняет направление обхода, а
несобственное — изменяет. Но если попытаться дать аккуратное определение
этого понятие, то основанное на этом решение задачи 17.37-B будет не
таким уж коротким.
Источники и прецеденты использования
