Доказать, что связный граф можно обойти, проходя по каждому ребру дважды.

   Решение

В каждый угол треугольника ABC вписана окружность, касающаяся описанной окружности. Пусть A₁, B₁ и C₁ — точки касания этих окружностей с описанной окружностью. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

   Решение

В треугольнике ABC сторона AB больше стороны BC. Пусть A₁ и B₁ – середины сторон BC и AC, а B₂ и C₂ – точки касания вписанной окружности со сторонами AC и AB. Докажите, что отрезки A₁B₁ и B₂C₂ пересекаются в точке X, лежащей на биссектрисе угла B.

   Решение

На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN| AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.

   Решение

Тема:    [ Повороты на $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

На сторонах AB и BC правильного треугольника ABC взяты точки M и N так, что MN| AC, E — середина отрезка AN, D — центр треугольника BMN. Найдите величины углов треугольника CDE.

Решение

Рассмотрим поворот на 60^o с центром C, переводящий точку B в A. При этом точки M, N и D переходят в M', N' и D'. Так как AMNN' — параллелограмм, середина E диагонали AN является его центром симметрии. Поэтому при симметрии относительно точки E треугольник BMN переходит в M'AN', а значит, точка D переходит в D', т. е. E — середина отрезка DD'. А так как треугольник CDD' правильный, то углы треугольника CDE равны 30^o, 60^o и  90^o.

Источники и прецеденты использования