Докажите, что: а)  l_a² + l_b² + l_c² p²; б)  l_a + l_b + l_c p.

   Решение

Докажите, что инверсия с центром в вершине A равнобедренного треугольника ABC (AB = AC) и степенью AB² переводит основание BC треугольника в дугу BC описанной окружности.

   Решение

Дана прямая MN и две точки A и B по одну сторону от нее. Постройте на прямой MN точку X так, что  ∠AXM = 2∠BXN.

   Решение

Прямые  AA₁, BB₁, CC₁ пересекаются в одной точке O. Докажите, что точки пересечения прямых AB и A₁B₁, BC и B₁C₁, AC и A₁C₁ лежат на одной прямой (Дезарг).

   Решение

В прямоугольник ABCD вписаны два различных прямоугольника, имеющих общую вершину K на стороне AB. Докажите, что сумма их площадей равна площади прямоугольника ABCD.

   Решение

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

   Решение

Тема:    [ Поворот (прочее) ]

Сложность: 7 Классы: 9

Прислать комментарий

Условие

По арене цирка, являющейся кругом радиуса 10 м, бегает лев. Двигаясь по ломаной линии, он пробежал 30 км. Докажите, что сумма всех углов его поворотов не меньше 2998 радиан.

Решение

Предположим, что лев бежал по ломаной A₁A₂...A_n. Распрямим траекторию движения льва следующим образом. Повернем относительно точки A₂ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₃ попала на луч A₁A₂. Затем повернем относительно точки A₃ арену цирка и дальнейшую траекторию так, чтобы точка A₄ попала на луч A₁A₂ и т. д. Центр O арены цирка переходит при этом последовательно в точки O₁ = O, O₂,..., O_{n - 1}; точки A₁,..., A_n переходят в точки A₁',..., A_n', лежащие на одной прямой (рис.).
Пусть   — угол поворота льва в точке A_i'. Тогда O_{i - 1}A_i'O_i = и  A_i'O_{i - 1} = A_i'O_i10, поэтому O_iO_{i - 1}10. Следовательно, 30 000 = A₁'A_n'A₁'O₁ + O₁O₂ +...+ O_{n - 2}O_{n - 1} + O_{n - 1}A_n'10 + 10( +...+ ) + 10, т. е. +...+ 2998.

Источники и прецеденты использования